Group theory

Group Theory and Quantum Mechanics - Michael Tinkham

I ever read his book on supperconductivity. I just known this book.

Dresselhaus’ book on Group Theory

Basic concept

Rotation

If the coordinate is rotated by $\theta$ (anti-clockwise), R is \(R = \left[ \begin{array}{ll} cos(\theta) & -sin(\theta)\\ sin(\theta) & cos(\theta) \end{array} \right]\) Subgroups and cosets

- The cosets cannot be a subgroup since they don't include the identity element.
- A coset contains no elements in common with the subgroup.

Examples of finite order

• Vierrergruppe (A,B,C,E)

is a group of order 4, representing the rotational-symmetry group of a rectangular solid if A,B,C are taken to be the rotations by $\pi$ about the three orthogonal symmetry axes.

• group of primer order

  cyclic Abelian groups

• Permutation groups (of factorial order)

  The permutation group plays an important role in quantum theory because of Hamiltonian invariant under permutation of the particles.

Conjugate Elements and Class Structure

大话群论

跋 物以类聚，人以群分

群是有结构的元素的集合。群论研究集合的结构特征及其生成规律。

第一回 群的基本概念

定义，定理，性质，分类

《群论及其在物理学中的应用导论–李新征》的讲义比较概要：

6个定义:

1）群，2) 群的阶，元素的阶、有限群、无限群，3) Abel 群，4) 子群，5) 循环子群与群元的阶，6) 陪集。

3个定理:1) 重排定理， 2) 陪集定理，3) 拉格朗日定理。

重排定理：设G = {⋯，gα，⋯}，对∀u ∈ G，当$g_α$取遍G中所有元素时， $ug_α$给出且仅仅一次给出G中所有元素。

群的例子：空间反演群，n阶置换群$S_n$，D3群，n阶循环群（Abel群），

陪集定理: 子群的两个陪集非此即彼。设群H是群G的子群，则H的两个左(或右)陪集或者完全相同，或者没有任何公共元素。

拉格朗日定理：有限群子群的阶，必为群阶的因子。

如D3群的子群：{e}、G、{e、 d、f}、{e、a}、{e、b}、{e、c}，这些子群的阶分别是 1、6、3、2、2、2，都是 6 的因子。

类与不变子群

如果只根据群的定义，乘法表用起来不方便，所以要研究群的构造，把具有某些类似性质的群归为一类。

轭者，驾车时搁在牛马颈上的曲木。双牛（马）共轭，左右并行。

共轭. 具有相互性，传递性。如果G中存在一个g，使得 $gag^{-1}=b$，

类：群G中所有相互共轭的元素形成的集合，称为群G的一个类。

类群阶定理：有限群的每个类中元素的个数都是群阶的因子。

共轭子群. 正规子群(或不变子群)：所有元素的同类元素都属于子群H。（不只有一种类，因为E自成一类）

The right and left cosets of an invariant subgroup are identical.

正规子群重排定理

商群：G/H

$D_3$群的乘法表

A, B, C分别绕1, 2, 3 轴转动$\pi$ , D,F绕Z轴转$2\pi/3$,$4\pi/3$

E自成一类，2阶{A,B,C}，3阶{D,F}

{E,D,F}是不变子群H

把G分解成{H,aH}

群于群之间的关系：同构与同态

同构是一一映射，具有完全相同的结构，没有本质的区别。

1. 空间反演群{E、I}与二阶循环群{e、a}完全同构。
2. 三阶置换群与 D3 群完全同构。
3. 共轭子群同构，比如 D3 群，有三个子群{e、a}、{e、b}、{e、c}，它们相互共轭，{e、 c}=f{e、a}f-1，它们也相互同构。

一一映射的弱化，同态，不可逆。

同态核，同态核定理

$D_3$群与二阶循环群$Z_2$同态

自同构映射

自同构群..

变换群

n阶置换群$S_n$

群表示理论

1. 等价表示、不可约表示、酉表示
2. 群代数与正则表示
3. 有限群表示理论
4. 特征标理论
5. 新表示的构成

点群与空间群

1. 第一类点群 和 第二类点群
2. 晶体点群与空间群
3. 晶体点群的不可约表示

群论与量子力学

1. 哈密顿算符群与相关定理
2. 微扰引起的能级分裂
3. 投影算符与久期行列式的对角化
4. 矩阵元定理与选择定则、电偶极跃迁
5. 红外、拉曼谱、和频光谱
6. 平移不变性与 Bloch 定理
7. 布里渊区与晶格对称性
8. 时间反演对称性

转动群

1. SO(3)群与二维特殊酉群 SU(2)
2. SO(3)群与 SU(2)群的不可约表示
3. 双群与自旋半奇数粒子的旋量波函数
4. Clebsch-Gordan 系数

置换群

1. n 阶置换群
2. 杨盘及其引理
3. 多电子原子本征态波函数

《物理学中的对称性–艾立阿特 道伯尔 仝道荣》

宇称与选择定则

Conjugate elements and classes

The class structure of product groups

The group rearrangement theorem

Linear Algebra and Vector Spaces

Linear vector space